Le coniche in generale (6)

TEMPI: 5 ore

N.B. Abbiamo preferito riassumere in questa ultima lezione i tipici problemi riguardanti le coniche dal momento che il procedimento risolutivo è sempre lo stesso. Si badi però che è opportuno affrontare, subito dopo la spiegazione teorica, i problemi riguardanti la specifica conica presa in esame in modo tale da fissare meglio le idee. In tal senso risulta preziosa l'ora di lezione da svolgersi in laboratorio sia come momento riassuntivo di ciò che è stato fatto durante la settimana precedente sia come momento in cui gli studenti "toccano con mano" (virtualmente) ciò che hanno studiato poco prima.

I problemi più frequenti riguardanti le coniche sono di due tipologie:

1. determinare l’equazione della conica avendo alcuni dati;
2. determinare la retta tangente (o le rette tangenti) alla conica.

Per quanto riguarda il primo problema, sarà necessario fornire tante condizioni tra loro indipendenti quanti sono i coefficienti dell'equazione da determinare. Così, per determinare l’equazione di una circonferenza sarà necessario determinarne i tre parametri (a, b, c) disponendo di tre condizioni indipendenti.
Ad esempio citiamo i seguenti casi:
· sono note le coordinate del centro e il raggio;
· sono note le coordinate degli estremi di un diametro;
· la circonferenza passa per un punto e sono note le coordinate del centro;
· la circonferenza passa per tre punti non allineati;
· la circonferenza passa per due punti e il centro appartiene a una retta nota;
· sono note le coordinate del centro e la circonferenza è tangente a una retta nota.

Con il secondo problema, dovremo studiare il delta dell'equazione di secondo grado associata ad un sistema.
Ad esempio, le rette tangenti ad una parabola, uscenti da un punto P(x0,y0), possono essere due, una o nessuna. Per determinare le equazioni delle eventuali rette passanti per P e tangenti alla parabola, si procede nel seguente modo:

1. si scrive l'equazione del fascio di rette passanti per P;
2. si scrive il sistema fra le equazioni del fascio e della parabola;
3. si perviene ad un'equazione di secondo grado in x;
4. si calcola il delta;
5. si pone la condizione di tangenza, cioè delta uguale a 0;
6. si risolve l'equazione di secondo grado rispetto a m. Si possono presentare tre casi: le rette tangenti sono due (m1≠m2), la retta tangente è una sola ed il punto P appartiene alla parabola (m1=m2), l’equazione non ha soluzioni;
7. se si trova il valore (o i valori) di m, lo si sostituisce nell'equazione del fascio di rette determinando così l'equazione della retta tangente (o le equazioni delle rette tangenti).

Per ricondurre lo studio delle coniche ad unità, è consigliabile infine mostrare agli studenti l'equazione generica di una conica (dopo averne viste le quattro sezioni). Ogni conica è rappresentata algebricamente da una equazione di secondo grado in due incognite del tipo:

ax^2 + by^2 + cxy+ dx + ey + f = 0 con a, b, c, d, e, f numeri reali

Viceversa, l’insieme delle soluzioni reali di ogni equazione di secondo grado in due incognite, se non vuoto, è rappresentato nel piano cartesiano da una conica.

Ogni conica si può vedere anche a partire dalle ombre della sfera;

Nel primo caso abbiamo un'ellisse, poi una parabola ed infine un'iperbole (il caso della circonferenza si presenta allorquando la fonte luminosa che provoca l'ombra si trova esattamente sopra la sfera).

Fuoco F: punto d’appoggio della sfera
Direttrice d: retta intersezione del piano d’appoggio della sfera e del piano del circolo luminoso della sfera

Si dimostra che per un qualunque punto P di una conica è costante il rapporto fra le distanze di P da F e di P da d: tale rapporto definisce l'eccentricità e. Essendo P(x,y), F(f,0) e d: x=0, si ridefinisce l'equazione generica della conica:

(1-e^2)x^2+y^2-2fx+f^2=0

• e=0 si ha la Circonferenza
• e compreso tra 0 e 1, l'Ellisse
• e=1, la Parabola
• e maggiore di 1, l'Iperbole.

L'Iperbole (5)

TEMPI: 8 ore

L'iperbole e' il luogo geometrico dei punti P del piano per cui e' costante la differenza delle distanze da due punti fissi F(c,0) e F'(-c,0) detti fuochi:

iperbole={punti P del piano: d(P,F)-d(P,F')=2a}

Sia c sia a sono numeri reali positivi. Introducendo un coefficiente b, che al quadrato è uguale alla differenza tra il quadrato di c ed il quadrato di a (si noti che è il contrario rispetto all'ellisse), si dimostra che l'equazione canonica dell'iperbole riferita agli assi cartesiani di origine O(0,0) è:

Come si vede dal grafico sopra, l'iperbole è dotata di due asintoti passanti per O le cui equazioni sono:
Il rapporto e=c/a viene detto eccentricità dell'iperbole ed è sempre maggiore di 1: maggiore è e, più "aperta" sarà l'iperbole.

Se a=b, l'iperbole si dice equilatera e l'eccentricità risulta uguale alla radice quadrata di 2. In questo caso, gli asintoti sono tra loro ortogonali: uno è la bisettrice del 1°-3° quadrante e l'altro quella del 2°-4° quadrante.

L'Ellisse (4)

TEMPI: 10 ore

L'ellisse è il luogo dei punti P del piano le cui distanze dai due fuochi F(c,0) e F'(-c,0) hanno somma costante, uguale a 2a (dove a rappresenta il semiasse maggiore).

Sembra di averla già vista...

Il luogo dei punti del piano è quindi:

ellisse={punti P del piano: d(P,F')+d(P,F)=2a}

Evidentemente a e c sono numeri reali positivi. Introducendo un nuovo coefficiente b, il cui quadrato è pari alla differenza dei quadrati di a e c (cfr. iperbole), si può ricavare l'equazione canonica dell’ellisse riferita al centro O(0,0) degli assi cartesiani:

Il rapporto e=c/a viene detto eccentricità dell'ellisse e risulta sempre compreso tra 0 e 1: misura lo schiacciamento dell'ellisse.

La Parabola (3)

TEMPI: 15 ore

La parabola è la traiettoria di un sasso lanciato verso l'alto in avanti: una salita più o meno ripida e poi una discesa che si rivela simmetrica alla salita.

La parabola è il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da una retta chiamata direttrice d e da un punto detto fuoco F:

parabola={punti P del piano: d(P,F)=d(P,d)}

La retta passante per F e perpendicolare a d si chiama asse di simmetria s della parabola e interseca la parabola nel vertice V.
Una parabola con s parallelo all'asse Y è rappresentata da un'equazione del tipo:

col coefficiente a diverso da 0. Se a>0 la concavità della parabola è rivolta verso l'alto; se a<0, verso il basso.

Per disegnare correttamente una parabola occorrono le coordinate di V e di F e le equazioni di s e di d.

Equazione di s:

Equazione di d:

Casi particolari:

• b=0: V si trova sull'asse delle ordinate;
• c=0: la parabola passa per l'origine O(0,0) degli assi cartesiani;
• b=c=0: V coincide con O.

Nel caso in cui s fosse parallelo all'asse X, l'equazione della parabola diventa:

con a diverso da 0.

La Circonferenza (2)

TEMPI: 15 ore

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti P(x,y) del piano equidistanti da un punto C(α;β) detto centro: la distanza fra ognuno dei suoi punti ed il centro è il raggio r della circonferenza.

circonferenza={punti P del piano: d(P,C)=r}











Dal teorema di Pitagora, l'equazione canonica della circonferenza è data da:

L’equazione può anche essere scritta nella forma generale:

dove a, b e c sono coefficienti legati alle coordinate di C ed a r dalle seguenti relazioni:

Si possono verificare i seguenti casi particolari:

• se a=0, il centro appartiene all’asse Y;
• se b=0, il centro appartiene all’asse X;
• se c=0, la circonferenza passa per l’origine degli assi.

Due circonferenze possono essere secanti in due punti, tangenti in uno stesso punto (esternamente o internamente), una interna all'altra, concentriche o esterne.
Per determinare gli eventuali punti di intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema formato dalle equazioni delle due circonferenze:

E' conveniente risolvere il sistema con il metodo di riduzione. Sottraendo le due equazioni, si ottiene infatti l'equazione di primo grado:

dalla quale si potrà ricavare x in funzione di y (per esempio) e sostituirla poi in una delle due equazioni della circonferenza.

Introduzione (1)

TEMPI: 2 ore

Secondo i programmi ministeriali vigenti in Italia, le coniche vengono affrontate nella classe terza della scuola media superiore quinquennale. Nella fattispecie, questo lavoro si rivolge ad un Istituto Tecnico Commerciale con 5 ore settimanali di lezione dedicate alla matematica di cui una da svolgersi in laboratorio informatico.

Dopo aver affrontate le disequazioni algebriche, le potenze ed i logaritmi, all'inizio del terzo mese di scuola si inizia lo studio della geometria analitica: prima il piano cartesiano, poi la retta ed infine le coniche (nell'ordine, circonferenza - parabola - ellisse - iperbole). Lo studio di queste richiede generalmente almeno due mesi e mezzo (a seconda delle specificità della classe).

Prerequisiti per lo studio delle coniche:

• equazioni e disequazioni di 1° e di 2° grado
• risoluzione di sistemi di 1° e di 2° grado
• intuitivo concetto di funzione
• piano cartesiano e generalità
• definizione di luogo geometrico
• la retta

Sebbene lo studio scolastico delle coniche si basi sulla loro definizione come luogo geometrico, crediamo sia opportuna un'introduzione ad esse viste come particolari sezioni di un cono di luce doppio (nonostante risulti poi difficile creare un ponte col luogo geometrico). In tal modo viene agevolata la concretezza dello studio vedendo le figure come già presenti nella realtà fisica (prima che sul libro di testo): orbite dei pianeti, clessidra inclinata, liquido in un bicchiere cilindrico inclinato,..., particolari architetture,...

L'ideale sarebbe disporre di macchine che, generando un cono luminoso, mostrino con evidenza la diversità tra le varie coniche (gli studenti si appassionano a tali macchine ed ai problemi tecnici ad esse collegati); magari visitando, presso il nucleo di ricerca in Storia e didattica della matematica dell’Università di Modena, il museo interattivo Macchine matematiche e altri oggetti. Nel caso ciò non fosse possibile, si potrebbe utilizzare una comune pila e proiettare sul pavimento le diverse coniche (nel qual caso però il cono di luce sarebbe singolo e non doppio, ovviamente).

Per quanto riguarda software matematici, i più comuni sono Excel, Cabri e Derive; ai quali si possono aggiungere i meno usati Geometre, SkechPad e Mathematica. E' disponibile in rete sia una versione demo di Cabri sia una versione demo di SkechPad che funzionano perfettamente.

Per iniziare è opportuno l'utilizzo di Cabri III e Geometre poichè permettono rappresentazioni in 3D colle quali visualizzare le diverse sezioni del cono luminoso. Excel e Derive sono invece utili per quel che riguarda la definizione come luogo geometrico: data l'equazione della conica, se ne rappresenta il grafico sul piano cartesiano.

Ai fini della valutazione, sarebbero ideali 4 verifiche così suddivise:

1. circonferenza
2. parabola
3. ellisse ed iperbole (per metterne meglio a fuoco somiglianze e differenze)
4. coniche in generale

coll'avvertenza di affrontare volta per volta gli esercizi relativi alla conica appena trattata teoricamente. Le verifiche si intendono scritte.

Per quanto riguarda l'orale, è auspicabile dedicare almeno un'interrogazione interamente all'argomento oltre a domandine dal posto per capire se la classe sta seguendo il docente e gli studenti quantomeno sanno riconoscere una conica (dall'equazione, dal grafico,...) e distinguerla dalle altre (..., dalla sezione di cono). Va da sè che il docente avrà cura di assegnare esercizi specifici da svolgere, di volta in volta, in classe e a casa.