Le coniche in generale (6)

TEMPI: 5 ore

N.B. Abbiamo preferito riassumere in questa ultima lezione i tipici problemi riguardanti le coniche dal momento che il procedimento risolutivo è sempre lo stesso. Si badi però che è opportuno affrontare, subito dopo la spiegazione teorica, i problemi riguardanti la specifica conica presa in esame in modo tale da fissare meglio le idee. In tal senso risulta preziosa l'ora di lezione da svolgersi in laboratorio sia come momento riassuntivo di ciò che è stato fatto durante la settimana precedente sia come momento in cui gli studenti "toccano con mano" (virtualmente) ciò che hanno studiato poco prima.

I problemi più frequenti riguardanti le coniche sono di due tipologie:

1. determinare l’equazione della conica avendo alcuni dati;
2. determinare la retta tangente (o le rette tangenti) alla conica.

Per quanto riguarda il primo problema, sarà necessario fornire tante condizioni tra loro indipendenti quanti sono i coefficienti dell'equazione da determinare. Così, per determinare l’equazione di una circonferenza sarà necessario determinarne i tre parametri (a, b, c) disponendo di tre condizioni indipendenti.
Ad esempio citiamo i seguenti casi:
· sono note le coordinate del centro e il raggio;
· sono note le coordinate degli estremi di un diametro;
· la circonferenza passa per un punto e sono note le coordinate del centro;
· la circonferenza passa per tre punti non allineati;
· la circonferenza passa per due punti e il centro appartiene a una retta nota;
· sono note le coordinate del centro e la circonferenza è tangente a una retta nota.

Con il secondo problema, dovremo studiare il delta dell'equazione di secondo grado associata ad un sistema.
Ad esempio, le rette tangenti ad una parabola, uscenti da un punto P(x0,y0), possono essere due, una o nessuna. Per determinare le equazioni delle eventuali rette passanti per P e tangenti alla parabola, si procede nel seguente modo:

1. si scrive l'equazione del fascio di rette passanti per P;
2. si scrive il sistema fra le equazioni del fascio e della parabola;
3. si perviene ad un'equazione di secondo grado in x;
4. si calcola il delta;
5. si pone la condizione di tangenza, cioè delta uguale a 0;
6. si risolve l'equazione di secondo grado rispetto a m. Si possono presentare tre casi: le rette tangenti sono due (m1≠m2), la retta tangente è una sola ed il punto P appartiene alla parabola (m1=m2), l’equazione non ha soluzioni;
7. se si trova il valore (o i valori) di m, lo si sostituisce nell'equazione del fascio di rette determinando così l'equazione della retta tangente (o le equazioni delle rette tangenti).

Per ricondurre lo studio delle coniche ad unità, è consigliabile infine mostrare agli studenti l'equazione generica di una conica (dopo averne viste le quattro sezioni). Ogni conica è rappresentata algebricamente da una equazione di secondo grado in due incognite del tipo:

ax^2 + by^2 + cxy+ dx + ey + f = 0 con a, b, c, d, e, f numeri reali

Viceversa, l’insieme delle soluzioni reali di ogni equazione di secondo grado in due incognite, se non vuoto, è rappresentato nel piano cartesiano da una conica.

Ogni conica si può vedere anche a partire dalle ombre della sfera;

Nel primo caso abbiamo un'ellisse, poi una parabola ed infine un'iperbole (il caso della circonferenza si presenta allorquando la fonte luminosa che provoca l'ombra si trova esattamente sopra la sfera).

Fuoco F: punto d’appoggio della sfera
Direttrice d: retta intersezione del piano d’appoggio della sfera e del piano del circolo luminoso della sfera

Si dimostra che per un qualunque punto P di una conica è costante il rapporto fra le distanze di P da F e di P da d: tale rapporto definisce l'eccentricità e. Essendo P(x,y), F(f,0) e d: x=0, si ridefinisce l'equazione generica della conica:

(1-e^2)x^2+y^2-2fx+f^2=0

• e=0 si ha la Circonferenza
• e compreso tra 0 e 1, l'Ellisse
• e=1, la Parabola
• e maggiore di 1, l'Iperbole.